유클리디안 공간(Euclidean Space)

 

Euclidean Space는 유클리드가 연구했던 평면과 공간을 일반화한 것이다. 이 일반화는 유클리드가 생각했던 거리와 길이와 각도를 좌표계를 도입하여 임의 차원의 공간으로 확장한 것이다. 이는 표준적인 유한차원, 실수, 내적 공간이다.

대표적인 Euclidean Space는 직교좌표계이며, 유클리드의 5공준이 성립하는 공간을 의미한다

<유클리드 5공준>

1. 임의의 한 점에서 임의의 다른 한 점으로 직선을 그을 수 있다.

2. 유한한 선분이 있다면, 그것은 얼마든지 길게 늘릴 수 있다.

3. 임의의 한 점을 중심으로 하고, 임의의 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.

4. 직각은 모두 같다.

5. 한 선분을 서로 다른 두 직선이 교차할 때, 두 내각의 합이 180도보다 작으면, 이 두 직선을 무한히 연장하면 두 내각의 합이 180도보다 작은 쪽에서 교차한다. (평행선 공준)

 

<유클리드 5공리>
공리는 공준보다 더 일반적인 모든 학문에서 당연히 성립하는 자명한 이(理)를 말하며, 유클리드의 공리는 다음과 갔다.
(공리 1)동일한 것과 같은 것은 서로 같다.
(공리 2)동일한 것에 같은 것을 더하면 그 전체는 같다.
(공리 3)동일한 것에서 같은 것을 빼면 나머지들은 같다.
(공리 4)겹쳐 놓을 수 있는 것은 서로 같다.
(공리 5)전체는 부분 보다 크다.

(공리 1) A = B, A = C ---> B = C
(공리 2) A = B ---> A + C = B + C
(공리 3) A = B ---> A - C = B - C