제곱근(Square Root)의 지수형 처리 방법

부동소수점 데이터는 꼴로 표현된다. (음수일 경우와 0일 경우는 무시했다.)
여기서 두 가지 경우로 나누어보자.

첫번째 n=2k 인 경우
가 된다.

두번째 n=2k+1 인 경우
가 된다.
는 상수이므로, 컴파일 타임에 결정되므로 크게 상관하지 않아도 좋다.
여기서 중요한것은 실질적으로 우리가 계산해야할 값은 라는 것이다.
k는 n을 2로 나눈값이므로 시프트 연산만으로 구현할 수 있기 때문이다.

를 어떻게 구할까?
이를 예견한것인지는 몰라도 뛰어난 수학자들이 몇 세기전에 좋은 해결방법을 만들어 놓았다.
그 이름은 바로 테일러 급수.


단 ( |x| < 1 이어야한다.)
자세한 것은 위키백과 테일러 급수 참조

라고 하면 가 된다.
따라서 위 테일러 전개식의 수렴조건도 만족한다. 적당한 부분까지 테일러 전개식에 대입하여 를 구해내면된다.
게다가 부동소수점 데이터의 특성상 곧바로 x값을 구할수 있다.

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32비트 부동소수점 데이터를 예로 들자면
0 00000000 00000000000000000000000
부호  지수부  가수부
그런데 가수부는 항상 가장 첫째자리의 1을 뺀 나머지 부분을 저장한다.
예를 들어 1.25 * 2^8 같은 경우
부호는 0 (양수이므로)
지수부는 10001000 (바이어스로 128을 더해주어서 136)
가수부는 01000000000000000000000 (1.25 이므로 1.01₍₂₎이나, 앞의 1을 빼버린다.)

그리고 위 식을

이렇게 묶어내면 연산횟수를 줄일 수 있다.

이 정도면 꽤 최적화된 제곱근 계산하는 함수를 구현할수 있을것이다